1 patarimas. Kaip rasti funkcijos gradientą

Mokslas

1 patarimas. Kaip rasti funkcijos gradientą

Gradientas funkcija Ar yra vektorinis kiekis, kurio nustatymas yra susijęs su funkcijos dalinių išvestinių nustatymu. Gradiento kryptis rodo greitą funkcijos augimo kelią iš vieno skaliarinio lauko taško į kitą.

Instrukcijos

Norėdami išspręsti problemą dėl funkcijos gradientoTaikomi diferencialinio skaičiavimo metodai, būtent pirmosios eilės dalinių išvestinių trijų kintamųjų nustatymas. Čia manoma, kad pati funkcija ir visos jos dalinės išvestinės yra funkcijos apibrėžimo srities tęstinumo savybės.

Gradientas yra vektorius, kurio kryptisrodo maksimaliai spartų funkcijos F padidėjimo kryptį. Tai reiškia, kad grafoje yra du taškai M0 ir M1, kurie yra vektoriaus galai. Gradiento dydis yra lygus funkcijos padidėjimo greičiui nuo taško M0 iki taško M1.

Ši funkcija yra diferencijuojama visais šio punkto aspektaisVektorius, taigi visi jo daliniai išvestiniai yra koordinačių ašių vektoriaus projekcijos. Tada gradiento formulė yra tokia: grad = (∂F / ∂x) • i + (∂F / ∂y) • j + (∂F / ∂z) • k, kur i, j, k yra vieneto vektoriaus koordinatės. Kitaip tariant, funkcijos gradientas yra vektorius, kurio koordinatės yra jo dalinės išvestinės grad F = (∂F / ∂x, ∂F / ∂y, ∂F / ∂z).

Pavyzdys 1. Leiskite nurodyti funkciją F = sin (x • z²) / y. Reikia rasti gradientą taške (π / 6, 1/4, 1).

Sprendimas: apibrėžkite dalinius išvestinius kiekvieno kintamojo: F'_x = 1 / y • cos (x • z²) • z²; F'_y = sin (x • z²) • (-1) • 1 / (y²); F ' _z = 1 / y • cos (x • z²) • 2 • x • z.

Pakeiskite taško koordinačių žinomas vertes: F'_x = 4 • cos (π / 6) = 2 • √3; F'_y = sin (π / 6) • (-1) • 16 = -8; F'z = 4 • cos (π / 6) • 2 • π / 6 = 2 • π / √3.

Taikoma funkcijos gradiento formulė: grįžti F = 2 • √3 • i-8 • j + 2 • π / √3 • k.

2 pavyzdys. Raskite funkcijos gradiento koordinates F = y • arstg (z / x) taške (1, 2, 1).

Sprendimas.F'_h = 0 • arstg (Z / x) + y • (arstg (Z / X)) '_ x = y • 1 / (1 + (z / x) ²) • (-z / h²) = -y • Z / (h² • (1 + (z / x) ²)) = -1; F'_y = 1 • arstg (Z / x) = arstg 1 = π / 4; F'_z = 0 • arstg (Z / x) + y • (arstg (Z / x)) '_ z = Y • 1 / (1 + (z / x) ²) • 1 / x = y / (x • (1 + (z / x) ² )) = 1.gràd = (-1, π / 4, 1).

2 patarimas. Kaip rasti skaliarinio lauko gradientą

Skaliarinio lauko gradientas yra vektorinis kiekis. Taigi, norėdami tai surasti, turime nustatyti visus atitinkamo vektoriaus komponentus, pradedant nuo žinių apie skaliarinio lauko pasiskirstymą.

Instrukcijos

Skaitykite aukštojo matematikos vadovėlyjeyra skaliarinio lauko gradientas. Kaip žinoma, šis vektorinis kiekis yra kryptimi, kuriai būdinga didžiausia skaliarinės funkcijos mažėjimo greitis. Šis tam tikro vektoriaus kiekio jausmas pateisinamas išraiškos jo komponentų nustatymui.

Atminkite, kad bet kuris vektorius priklauso nuo kiekiojo komponentas. Vektoriaus komponentai iš tikrųjų yra šio vektoriaus projekcijos vienoje ar kitoje koordinačių ašyje. Taigi, jei laikoma erdvinė erdvė, vektorius turi turėti tris komponentus.

Užsirašykite, kaip nustatomi vektoriaus komponentai,kuris yra tam tikro lauko gradientas. Kiekviena tokio vektoriaus koordinatė yra lygi skaliarinio potencialo išvestinei kintamajai, kurios koordinatė yra apskaičiuojama. Tai reiškia, kad, jei reikia apskaičiuoti lauko gradiento vektoriaus komponentą "Ix", tada reikia kintamojo "x" skaliarinę funkciją diferencijuoti. Atkreipkite dėmesį, kad išvestinė priemonė turi būti privati. Tai reiškia, kad, diferencijuojant, likusieji kintamieji, kurie jame nedalyvauja, turi būti laikomi konstantomis.

Parašykite skaliarinio lauko išraišką. Kaip žinote, šis terminas reiškia tik skaliarinę keletą kintamųjų funkciją, kuri taip pat yra skaliarų kiekiai. Skalarinės funkcijos kintamųjų skaičius ribojamas erdvės matmeniu.

Skirtingai atskirkite skaliarinę funkcijąkiekvienas kintamasis. Todėl jūs gausite tris naujas funkcijas. Parašyk kiekvieną funkciją į skaliarinio lauko gradiento vektoriaus išraišką. Kiekviena iš gaunamų funkcijų iš tiesų yra tam tikros koordinatės vieneto vektoriaus koeficientas. Taigi, galutinis gradiento vektorius turėtų atrodyti kaip polinomas su koeficientais išvestinių funkcijų pavidalu.

3 patarimas. Kaip rasti gradientą

Nagrinėjant problemas, susijusias su gradiento koncepcija, funkcijos paprastai suvokiamos kaip skaliarinės laukai. Todėl būtina įvesti atitinkamą žymėjimą.

Jums reikės

- strėlės;
- rankena.

Instrukcijos

Tegul funkciją turi pateikti trys argumentai u = f (x,y, z). Funkcinės dalies fragmentas, pavyzdžiui, susijęs su x, apibrėžiamas kaip išvestinė šio argumento reikšmė, gauta su likusiais argumentais. Kiti argumentai yra panašūs. Dalinės išvestinės apibūdinimas parašytas tokia forma: df / dx = u'x ...

Bendras skirtumas bus lygus du = (df / dx) dx +(DF / DY) DY + (df / dz) dz.Chastnye dariniai gali būti suprantama kaip darinių pagal koordinates ašių kryptimis. Todėl kyla klausimas, rasti išvestinę iš anksto vektorius s tuo M taške (x, y, z) (nepamiršti, kad tiksliai apibrėžtas vieneto vektoriaus S, kur, krypčių s ^ o kryptimi). Vektorius-argumentai skirtumas {DX, DY, dz} = {dscos (alfa) dssos (beta) dssos (gama)}.

Atsižvelgiant į viso diferenciacijos formą,daryti išvadą, kad kryptis-Niju s, kai M taške yra lygus darinys: (du / DS) | M = ((df / DX) | M) cos (alfa) + ((df / dy) | M) cos (beta) + ((df / dz) | M) cos (gama) .Jei s = s (sx, Sy, SZ), tada kryptis jaukumą {cos (alfa), cos (beta) cos (gama)} yra skaičiuojamas (žr. 1a).

Išvestinės priemonės apibrėžimas atsižvelgiant į kryptį, darant prielaidąM punktą kintamojo galima perrašyti kaip Skaliarinė produkto: (du / DS) = ({df / dx, df / dy, df / dz}, {cos (alfa), cos (beta) cos (gama)}) = (grad u, s ^ o). Ši išraiška galioja skaliarų laukui. Jei mes manome, funkcinėje, vadovaujamasi gradf - vektorių, turintį koordinates, sutampančią dalinį f (x, y, z) .gradf (x, y, z) = {{df / DX, df / DY, df / dz} =) = (df / dx) i + (df / dy) j + (df / dz) k. Čia, (i, j, k) - vektoriai stačiakampio koordinuoti ašių į Dekarto koordinačių sistemos.

Jei naudojate diferencialąvektoriniu Hamiltono operatorius, tada gradf gali būti parašytas kaip šio operatoriaus vektoriaus dauginimasis pagal skaliarą f (žr. 1b pav.). Krypties sujungimo požiūriu lygtis (gradf, s ^ o) = 0 yra įmanomas, jei šie vektoriai yra ortogonalūs. Todėl gradfas dažnai apibrėžiamas kaip greičiausių skalio lauko pokyčių kryptis. O skirtingų operacijų požiūriu (gradf yra vienas iš jų), gradfos savybės tiksliai pakartoja funkcijų diferencijavimo savybes. Visų pirma, jei f = uv, tada gradf = (vgradu + u gradv).

4 patarimas. Kaip piešti gradientą

Gradientas grafinio redaktoriai įrankis užpildo kontūras sklandų perėjimą nuo vienos spalvos į kitą. Gradientas gali suteikti kontūro tūrio efektą, imituotiapšvietimas, šviesos atspindys ant objekto paviršiaus arba saulėlydžio efektas fotografuojamame fone. Ši priemonė yra plačiai naudojama, todėl labai svarbu išmokti ją naudoti fotografuoti arba kurti iliustracijas.

Jums reikės

Kompiuteris, grafinis redaktorius "Adobe Photoshop", "Corel Draw", "Paint.Net" ar kt.

Instrukcijos

Atidarykite programoje esantį vaizdą arba sukurkite naują. Sukurkite kelią arba pasirinkite norimą paveikslo plotą.

Įjunkite gradiento įrankį įrankių juostojegrafinio redaktoriaus įrankiai. Įdėkite pelės žymeklį į pasirinktos srities arba kontūro tašką, kuriame prasidės pirmoji gradiento spalva. Paspauskite ir palaikykite kairįjį pelės mygtuką. Perkelkite žymeklį į tašką, kuriame gradientas turėtų eiti į paskutinę spalvą. Atsukite kairįjį pelės mygtuką. Pasirinktas kelias užpildys gradientą.

GradientasGalite nurodyti skaidrumą, spalvas ir jųsantykis tam tikru liejimo tašku. Norėdami tai padaryti, atidarykite langą redaguoti gradientą. Norėdami atidaryti redagavimo langą "Photoshop", spustelėkite gradiento pavyzdį skydelyje "Parinktys".

Atsidariusiame lange pavyzdžių pavidalu parodytos galimos gradiento užpildymo parinktys. Jei norite redaguoti vieną iš parinkčių, pasirinkite jį paspausdami pelę.

Pavyzdys rodomas lango apačiojegradientas kaip plataus masto, kai slankmačiai. Slankmačiai žymi vietas, kuriose gradientas turi būti iš anksto nustatytus charakteristikas, ir tarp šliaužiklius spalvos tolygiai juda nuo nustatyto taško pirmoje spalvos antro punkto.

Slankmačiai, esantys viršujeSvarstyklės nustato gradiento skaidrumą. Norėdami pakeisti skaidrumą, spustelėkite norimą slankiklį. Pagal skalę pasirodo laukas, kuriame įvedate pageidaujamą skaidrumo laipsnį procentais.

Slankiklių skalės apačioje nurodykite gradiento spalvas. Paspaudę vieną iš jų, galite pasirinkti norimą spalvą.

Gradientas gali turėti keletą spalvų perėjimo. Norėdami nurodyti kitą spalvą - spustelėkite laisvą vietą skalės apačioje. Jame bus kitas slankiklis. Nurodykite norimą spalvą. Skalėje rodomas gradiento pavyzdys su dar vienu tašku. Galite perkelti slankiklius laikydami juos kairiuoju pelės klavišu norėdami pasiekti norimą kombinaciją.

GradientasYra keletas tipų, kuriuos gali suteiktiformos plokščias kontūras. Pavyzdžiui, padaryti iš rutulio griovelio gradiento apskritimo forma yra naudojama, ir siekiant suteikti kūgio formos - kūgio formos. Suteikti iliuzija paviršiaus Iškilioji galite naudoti veidrodžio gradientas ir deimantų gradientas gali būti naudojama siekiant sukurti blizgesį.